永利皇宫登录系统并且使李代数成为具有半范数的显式拟微分算子.研究SUp

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文章关键词:永利皇宫登录网址,正定算子

  《再生核空间数值分析》是崔明根、吴勃英编著的科学类作品,由科学出版社在2004年1月出版。本书将一个特殊的Hilbert空间——再生核空间作为解决数值分析问题的较理想的框架提出来,可供综合性大学、高等理工大学数学专业研究生、教师及研究人员阅读,也可供从事科学与工程计算的工程技术人员参考。

  《再生核空间数值分析》本书第一章介绍了再生核理论;第二章和第三章讨论了插值问题,构造出对散乱的节点系不用导数条件,能保证一致收敛的一元和多元插值公式;第四章讨论了插值迭代法;第五章和第六章讨论了各类算子方程及其基于方程精确解的表达式,给出了数值解的求解方法;第七章讨论了泛函极值问题,给出了一类数值泛函问题的最佳解的表达式;第八章讨论了一类重要的非线性算子方程,给出了精确解的表达式。

  本书第一章列举了再生核空间的主要概念和性质以及基本原理.本书中再生核空间的有关知识只作为一个工具,因此删去了证明。[1]

  在第二章给出了若干具体的再生核空间.在所有给出的再生核空间中都有具体的再生核表达式.有一些具体的再生核空间放在以后的各章节中,其原因是这些空间是以具体问题做背景的.这样处理的主要目的是使读者领略如何从实际问题构造一个与问题相适应的具体的再生核空间.

  在第三章中讨论了数值分析的最基本问题,给出了最佳Lagrange插值法和最佳Hermite插值法以及最佳曲面插值法.这些插值法均对散乱节点系有一致收敛的特点.不论从经典的理论角度,还是从应用角度,“最佳”这一词是名副其实的.

  在第四章中给出了插值迭代法.顾名思义插值迭代法是插值和迭代法相结合的产物,没有什么新意.但是人们知道在C[a,b]空间中这两种方法是不能结合的,这是因为在C[a,b]空间中没有很好地解决插值法的收敛性问题,因此得不到有应用价值的插值和迭代相结合的算法.然而在再生核空间中,这两种方法可以巧妙地结合成一个好的算法.用所建立的插值迭代法我们可以不用任何导数条件,将连续函数在大范围进行展开.

  在第五章中讨论了各类线性积分方程求解问题.我们给出了各类方程精确解的表达式,这些表达式是由级数形式表达的,级数截断就给出近似解.值得一提的是这些近似解随着级数截断项的增加而单调下降,永利皇宫登录系统并且方程的右端项f(x)以离散形式{f(xi)}ni=1给出时,所构造的这些近似解在节点xi处精确地满足方程.

  第六章讨论了微分方程以及积分—微分方程.其中6.2节和6.3节是由具体的应用问题提出来的.第一个应用问题是流体力学中的问题;而第二个应用问题是人口控制问题.这些应用问题在某种侧面上都得到了较好的答。

  1930年Bergman[1~7]在研究下述微分方程的求解问题(其中:a(x,y),(x,y),r(x,y)(),是有界区域,a(x,y),(x,y),r(x,y)是内的实解析函数)时,首次给出了再生核的概念及表达式其中:n(z)是z的任意一个解析函数;A(z,z)是系数函数;a(x,y),(x,y)延拓函数的一个变换函数;E(z,z,t)是方程的解.

  再生核理论总体上可分为两方面.一方面产生于积分理论,那时的核被认定是正定积分算子的连续核.这个理论是由J.Mercer以“正定核”的名词提出来的[8],在20世纪20年代,被其他对积分方程感兴趣的学者们引用.Mercer发现所有正定积分方程的连续核具有性质在20世纪30年代,E.H.Moore也发现了同样的性质.Moore讨论的是定义在抽象集合正上具有性质(1)式的核函数K(x,y),在一般的分析中以“正定Hermitian矩阵”的名词应用在广义积分方程中,他证明了对每一个正定的Hermitian矩阵,对应一个函数族,形成具有内积为(f,g)的Hilbert空间,且在此空间中的核具有再生性.

  他的这种发现将再生核的两种说法连接起来了,这一理论也被S.Bochner在20世纪30年代以“正定函数”的名词提出,Bochner研究的是具有实变量x的连续函数(x),令核K(x,y)=(x—y),则此核函数K(x,y)具有性质(1)式.并将此核应用到Fourier变换理论中.

  另一方面是20世纪初,由S.Zaremba在讨论关于调和双调和函数的边值问题时提出的,Zaremba是第一个在特殊情况下引入与一个函数族相对应的核,并证明此核的再生性式.

  在20世纪三四十年代,所讨论的核大都是Bergman核.Bergman给出了与一元或多元调和函数,分析函数相对应的核是作为平方度量中的正交函数系中的核给出的.即定义在区域D上具有平方度量的一元或多元解析函数的核,并发现了这些核的再生性.这些核在一元或多元复函数理论中得到了许多重要应用.Bergman将Zeremba应用再生核解决边值问题的思想进一步深入,证明了再生核是解决椭圆型偏微分方程边值问题的非常有用的工具.联系到Hada-mard各种方法的运用,建立了再生核与不同区域上微分方程解之间的关系.对于偏微分方程,在一定区域上的解系的核证明是与相应Neuman和Green函数完全不同的函数.再与再生核在偏微分方程中的应用相对应,又得出了再生核与分析函数的Bergman核之间的关系,同时多连通区域上的保角映射中的再生核的应用作为重要的映射函数也得到了很大的进展,且被Bergman核简单地表达出来.

  1943年,N.Aronszajn概括前人的工作,形成了包括特例Bergman核函数在内的系统的再生核理论,再生核理论为每一个特殊例子研究奠定了基础,而且大大简化了一些证明过程.在这个理论中,函数族的核函数的再生性起着重要的作用.同时也证明了再生核同样具有正定的Hermitian矩阵的性质,这又将两种说法再次统一起来.

  后来,国内外许多学者在再生核方面的研究做了大量工作,总结出许多再生核的构造方法,以及在再生核空间中利用核函数的再生性求解方程的近似解.在量子化的Hilbert空间中构造再生核,转化使哈密尔顿量子化的能量算子,并且使李代数成为具有半范数的显式拟微分算子.研究SUp,q空间中一族全纯的离散序列的表示,以及对再生核参数v的解析连续性进行了讨论.运用次高斯过程的定义,把次稳定过程定义为均衡稳定的尺度混合过程,并研究它的无穷可分性.这严格依赖于相应稳定过程产生的La空间的子空间H(R)的几何性质.这个空间在次高斯过程的意义下,可看做是一个再生核空间,并研究了该空间的惟一表达方式及一些几何性质.对两个变量的再生核给出了一般化的定义,并概括了相应的理论.对Cn上的一类没有特殊要求的Bergman空间,给出其上再生核的精确表达式.文献[19]研究了Caratheodory函数

  构成的具有再生核的Hilbert空间,并在其上研究了时间问题.文献[20]运用再生核Hilbert空间的方法,为球上解析的压缩的函数子类构造了一种Schur型运算法则,又讨论了其上的Nevanlinna-Pick插值问题.文献[21]利用一般性的结构定理例证了再生核空间与正交多项式全体的关系.文献[22]中证明了Favard型定理,即对一列文献中提到的循环所产生的核函数kn(z,w),一定在单位球上存在度量u,使得kn是Ln的再生核,并且这个度量在一定条件下是惟一的.文献[23]运用定义在Cn中有界均衡区域上的解析函数构成的Hilbert空间的理论,永利皇宫登录系统构造了Bergman核.该核在算子理论中起着越来越重要的作用.文献中还列出了该核所构成的Hilbert空间中的几个积分公式.

  1970年,F.M.Larkin给出了具有再生核的Hilbert函数空间中的最佳逼近原则[24].1974年,M.M.Chawla又给出了具有再生核的Hilbert函数空间具有多项式精度的最佳逼近规则,1986年崔明根[26~28]开始从事再生核空间的逼近论及数值方法的研究,首先给出了一个再生核空间W12[a,b].在文献[26]中证明了W12[a,b]是一个具有再生核的Hilbert空间,给出了再生核的有限表达式,并构造一个新的插值迭代公式来讨论大范围展开和离散函数的逼近问题.给出了最佳插值逼近算子的解析表达式,研究了一维的第一类、第二类Fredholm积分方程与适定和不适定算子方程的求解问题以及最佳数值原函数等问题.张艳英[30]在二维矩形区域D=[a,b]×[a,b]R2上定义了再生核空间W12(D),并在其中讨论了多元插值,给出了多元插值公式.在文献[31]中进一步给出了一种计算多元插值迭代公式.

  吴勃英[32]给出了再生核空间W22(D)和该空间再生核的近似表达式,在文献[33]中给出了第一类算子方程的近似解.阎玉斌[34]给出了再生核空间W12[a,+∞),W12(—∞,+∞),并在其上讨论了广义积分方程的精确解.阎玉斌、崔明根又研究了一类算子方程Au=f的解的表示,李云晖、崔明根[36]进一步在再生核空间W12[0,+∞)中给出了一类积分微分方程的精确解.文松龙、崔明根给出了再生核空间W{[a,b]×[a,b]}及其再生核,并在其上讨论了最佳插值,方程求解等问题.目前,李春利又利用再生核空间的良好性质求解非线性算子方程,并给出其精确解的表示.

  本书是作者从1986年第一次给出一个具体的再生核空间W12[a,b]的再生核表达式以来有关再生核空间数值分析方面的17年工作的总结.开始给这本书起个“再生核空间数值分析”时觉得书名起得大了一点,但是,后来又觉得这个书名还是名副其实的.其理由之一是本书的题材涉及数值分析的最主要内容:插值问题、数值积分问题、数值泛函问题、积分方程、微分方程、微分—积分方程和一般的算子方程的数值求解问题;其理由之二是在本书中各个问题都是借助于再生核空间的特殊性质和技巧给出了完整的理论体系和算法,并通过大量的实验表明这些算法是有效的.

  应当说,再生核空间是研究数值分析的比较理想的空间框架.再生核空间之所以有这样好的数值表现力是因为在这个空间中有一个函数Rr(y)使得对固定的x和相应的空间中的函数u(y)通过内积表现出再生性:u(x)=(u(y),Rx(y)),于是对数值分析中最基本的取值运算u(xi),也就是说对取值泛涵Iiu=u(xi)有一个连续的表示u(xi)=(u(y),Rx(y)).这种离散的取值问题的连续表现形式正是使追求各类数值问题的最佳化成为可能.在此泛函分析工具并不是花架子,而是实实在在的分析工具.不论在建立理论框架,还是在建立数值算法时都离不开它.尤其是共轭算子A*的作用发挥得淋漓尽致,讨论求解方程问题时都要具体的表现共轭算子算法,而再生核空间为实现这种表现提供一个最为理想的框架。

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